確率pの試行を成功するまでの試行回数の期待値
概要
確率 \(p(p\neq 0)\) で成功する試行を成功するまでに行う時の試行回数 (最後の成功した回を含む) の期待値は \(\frac{1}{p}\) になる
証明
求める期待値を \(X\) とする。1 回試行した時、成功時はそこで終了、失敗した時は全く同じ状況でやり直しとなる。したがって下記のような等式が成り立つ。
\[
X = 1 + (1 - p)X
\]
これを変形すると \(X=\frac{1}{p}\) となる。
確率 \(p(p\neq 0)\) で成功する試行を成功するまでに行う時の試行回数 (最後の成功した回を含む) の期待値は \(\frac{1}{p}\) になる
求める期待値を \(X\) とする。1 回試行した時、成功時はそこで終了、失敗した時は全く同じ状況でやり直しとなる。したがって下記のような等式が成り立つ。
これを変形すると \(X=\frac{1}{p}\) となる。