数列の和の公式

等差数列

交差 \(d\) の等差数列 \(A_n\) の初項から第 \(n\) 項までの和を \(S_n\) とすると

\[\begin{split} S_n &= \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \\ & = \frac{n}{2}(2a_1 + (n - 1)d) \end{split}\]

等比数列

公比\(r\)の等比数列\(A_n\)の初項から第\(n\)項までの和を\(S_n\)とすると

\[\begin{split} S_n = \left\{ \begin{array}{} a_1 \times \frac {1 - r^n}{1 - r} & (r \neq 1) \\ na_1 & (r = 1) \end{array} \right. \end{split}\]

その他

\[\begin{split} 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + N^2 &= \frac{N(N + 1)(2N + 1)}{6} \\ 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^{N-1} &= 2^N - 1 \\ 1 + p + p^2 + p^3 + ... &= \frac{1}{1 - p} \quad (0 < p < 1の時) \end{split}\]