外積
概要
3 次元空間内の 2 つのベクトル \(a, b\) の外積 \(a\times b\) は、\(a, b\) の両方に垂直で、右ねじの方向を持ち、\(a, b\) のなす平行四辺形の面積に等しい大きさをもつベクトルのこと。
3 次元空間上の 2 つのベクトル \(a, b\) のクロス積 \(a × b\) は、以下のように定義される。(\(n\) は右ねじ方向の単位ベクトル)
\[
a \times b = |a||b|\sin(\theta)n
\]
\(a, b\) を 2 次元平面平面上に存在するとしたとき外積は
\[
a \times b = (0, 0, a_1b_2 - a_2b_1)=|a||b|\sin(\theta)n
\]
したがって \(a_1b_2 - a_2b_1 > 0\) で正方向 (\(\theta\) が 180 度未満)、\(a_1b_2 - a_2b_1 < 0\) で負方向 (\(\theta\) が 180 度より大きい) になる。